Mówimy, że szereg ∑_{n=1}^∞ a_n jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg ∑_{n=1}^∞ |a_n|. Jeśli szereg ∑_{n=1}^∞ a_n jest zbieżny, a szereg ∑_{n=1}^∞ |a_n| rozbieżny (czyli ∑_{n=1}^∞ a_n jest zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie), to mówimy, że ∑_{n=1}^∞ a_n jest zbieżny warunkowo. Zanim podamy przykłady przyda nam się kryterium Leibniza: Jeżeli ciąg (a_n) jest monotoniczny od pewnego miejsca, tzn. a_{n+1} ≥ a_n dla każdego n>n_0 lub a_{n+1} ≤ a_n dla każdego n>n_0, oraz \lim_{n→∞} a_n = 0, to szereg ∑_{n=1}^∞ (-1)^n a_n jest zbieżny. Przykład: Zbadaj zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregu ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n. Szereg ten nazywa się anharmonicznym. Zaczniemy od zbadania zbieżności: ∑_{n=1}^∞ (-1)^n\o n = ∑_{n=1}^∞ (-1)^n ⋅ 1/n, czyli szereg ma postać ∑_{n=1}^∞ (-1)^n a_n, gdzie a_n = 1/n. Ciąg a_n jest malejący oraz \lim_{n→∞} a_n = \lim_{n→∞} 1/n = 0, więc na mocy kryterium Leibniza szereg ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n jest zbieżny. Teraz zajmiemy się zbieżnością bezwzględną. Szereg ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg ∑_{n=1}^∞ |(-1)^n/n| = ∑_{n=1}^∞ 1/n Jest to szereg harmoniczny, więc jest rozbieżny. To oznacza, że szereg ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n nie jest zbieżny bezwzględnie. Podsumowując, nasz szereg jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie, czyli jest zbieżny warunkowo. Powyższy przykład pokazuje, że ze zbieżności nie wynika zbieżność bezwzględna. Zachodzi jednak następujący Twierdzenie: Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Przykład: Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n^2. Tym razem zaczniemy od zbadania zbieżności bezwzględnej. Pytamy czy zbieżny jest szereg ∑_{n=1}^∞ |(-1)^n / n^2| = ∑_{n=1}^∞ 1/n^2 Jest to szereg harmoniczny rzędu 2, więc jest zbieżny. Wobec tego szereg ∑_{n=1}^∞ (-1)^n/n^2 jest zbieżny bezwzględnie. Na podstawie powyższego twierdzenia możemy od razu wywnioskować, że jest także zbieżny. Uwaga: dla szeregów o wyrazach nieujemnych (lub niedodatnich) zbieżność i zbieżność bezwzględna są równoważne.