matematykaDlaStudenta.pl
matematykaDlaStudenta.pl
Szereg liczbowy ∑_{n=1}^∞ a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n ma granicę właściwą S. lim_{n→∞} S_n = S. Gdy lim_{n→∞} S_n = ∞, to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i piszemy sum_{n=1}^∞ a_n = S lub a_1 + a_2 + a_3 + ... = S. Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu ∑_{n=1}^∞ a_n jest to, aby ciąg a_n dążył do zera. lim_{n→∞} a_n = 0. Spełnienie warunku koniecznego nie oznacza jeszcze, że dany szereg jest zbieżny. Jednak jego niespełnienie wskazuje, że szereg jest rozbieżny. Przykłady: ∑_{n=1}^∞ 1/2^n = 1. Szereg zbieżny. lim_{n→∞} 1/2^n = 0. Warunek konieczny spełniony. ∑_{n=1}^∞ 1/n = ∞. Szereg rozbieżny. lim_{n→∞} 1/n = 0. Warunek konieczny spełniony. ∑_{n=1}^∞ n = ∞. Szereg rozbieżny. lim_{n→∞} n = ∞. Warunek konieczny niespełniony. Gdy lim_{n→∞} S_n = ∞, szereg ∑_{n=1}^∞ a_n jest rozbieżny dla ∞. ∑_{n=1}^∞ a_n = ∞. Gdy lim_{n→∞} S_n = -∞, szereg ∑_{n=1}^∞ a_n jest rozbieżny dla -∞. ∑_{n=1}^∞ a_n = -∞. Gdy lim_{n→∞} S_n = nie istnieje, szereg ∑_{n=1}^∞ a_n jest rozbieżny.